正多角形によるタイリング

まずは、一番簡単な正多角形によるタイリングです。たった一種類の正多角形で平面を埋め尽くすことを考えてみます。

すぐに分かるのが正方形ですね。(つまり、お風呂場です。) これなら、隙間なく平面を埋め尽くすことができます。他に、正何角形なら平気でしょうか？可能なものを全て見つけ出しましょう。

このとき、1つ1つ確かめていくのは不可能な上に、賢くありません。確かに、この方法でもいくつか可能な正多角形が見つかるでしょう。しかし、正多角形なんていくらでもあるので、この方法では「これで全てだ！」と言いきることができまないのです。第一、スマートではありません。もっと、違う方法を考えてみます。

正多角形の性質

といいつつも、まずはちょっと正多角形の性質について書いておきましょう。

定義

特に、定義するほどのことでもありませんが、念のため。全ての辺の長さが等しく、全ての角が等しい多角形を正多角形と呼びます。

種類

3以上のどんな自然数nに対しても、正n角形が存在します。つまり、正3角形、正4角形、正5角形、・・・、といくらでもあるのです。

当たり前じゃないか！と思うかもしれませんが、例えば正多角形の3次元版である正多面体ではそうはならないのです。正4面体はありますが、正5面体は存在ません。無限に存在できるのは正多角形だけなのです。

（蛇足ですが、3次元つまり正多面体は5種類しかありません。4次元つまり正多胞体は6種類しかありません。5次元以上つまりn次元正多胞体は3種類しかありません。無限あるのは2次元だけなのです。なんて不思議な！）

内角

正p角形の内角tは次の公式によって与えられます。

(eq.1)

結構、知られている公式ですが証明しておきましょう。

三角形の内角の和

fig.1 三角形の内角の和

まず、辺BCに平行で頂点Aを通る直線を引きます。 平行線の錯角は等しいことから、辺AB、辺ACと直線がなす角がそれぞれb、cであることが分かります。

直線の角度は180度ですから、a+b+c、つまり三角形の内角の和が180度であることが分かりました。

p角形の内角の和

p角形の頂点をそれぞれ、A1、A2、A3、・・・、Ap と呼ぶことにします。

さて、頂点A₁から始まる対角線を引けるだけ引いてしまいます。 A₁A₂とA₁A_pは対角線にならないことに気をつければ、引けるのはA₁A₃、A₁A₄、・・・、A₁A_p-1の (p-3)本だと分かります。

すると、p角形は(p-3)本の対角線により(p-2)個の三角形に分割されました。それぞれの三角形の内角の和は先ほど証明したように180度なので、 p角形の内角の和はその(p-2)倍である180(p-2)度であることが分かります。

fig.2 p=6の場合

正p角形の内角

正p角形ならば、定義により全ての内角が等しいはずです。内角はp個あり、その和は180(p-2)度であることが分かっていますから、正p角形の内角tは、

(eq.2)

となります。これでようやくeq.1が証明されました。

タイリング

横道が長かったですが、ようやくタイリングです。タイリングに必要な条件を考えてみます。

1つの頂点に正p角形がn個集まっているとしましょう。集まっている角の角度を合計したら360度になっていなくてはなりません。 360未満では平面を覆えていませんし、360度より大きくては正多角形が重なってしまいます。

さて、今言ったことを式で表すと、

(eq.3)

となります。内角×集まっている数は360度って言う当然の式です。これを、見やすくするために変形します。

(eq.4)

と、大部きれいな形になりました。が、これ以上進められません。今分からないものはpとnの２つあるのです。分からないものが2つあるときは、式が2つないといけないというのが常識でした。そうすると、この式は解けず、何の意味もないことになってしまいます。しかし、今はpとnには強力な制約がかかっているので、うまい具合に解けてしまうのです。

まず、pは3以上の自然数です。これは、上の正多角形の性質のところですでに述べました。また、nも自然数でしょう。-2個とか4.7個集まっているとかは意味が分かりません。さらに強くnは3以上の自然数と言い切りましょう。 1個が集まって頂点を作るというのはありえませんし、2個集まってできるものは頂点ではなく辺ですから。

そういう視点で、もう1度eq.4を見てみましょう。 pとnにかかる制約により、(p-2)と(n-2)は自然数であることが分かります。その積が4であるといっているのです。そんな自然数の組み合わせは「1と4」、「2と2」、「4と1」の3種類しかありません。つまり、

(eq.5)

です。ふぅ。頂点に「正三角形を6つ」または「正方形を4つ」または「正六角形を3つ」を集めれば、集まっている角の角度の合計が360度になることが分かりました。それ以外の組み合わせではeq.3を満たさず、タイリングに失敗します。

ここで注意！「先ほどの3組ならタイリングができる」 ってことを証明したわけではありません。証明できたのは、 「その3組以外では失敗する」、「タイリングできる可能性があるのは精々その3組のみ」 ということです。この違いは分かりにくいですが、非常に重要な違いです。 (この混乱は必要条件と十分条件を同一視しているのが原因です。)

さて、問題は「先ほどの3組ならタイリングができる」のか？です。 1番最初に「1つ1つ確かめていくのは不可能な上に、無様だ」と書きました。あ、「無様」じゃなくて「賢くない」という3倍くらい上品な言葉だった・・・。まぁ、いいや。しかしです。今やもう標的は残すとこと３つだけなのです。1つ1つ確かめてみましょう。もしこれでうまくいけば、タイリングができるといくことになります。それで、もしうまくいかなかったら、タイリングができないのです。単純明快です。

しらみつぶし

と言うのです。１つ１つ調べていくことを。やってみましょう。

まずは頂点に正三角形が6つ集まった場合です。あ、待ってください。こんなのをいちいち日本語で書くのは面倒ですね。簡単に表記できるようにしてしまいましょう。 それぞれの頂点に正三角形が6つ集まったタイリングのことを 3-3-3-3-3-3と書くことにしましょう。正方形が4つなら4-4-4-4、正六角形が3つなら6-6-6です。

（正三角形が6つなんだから[3, 6]とかの方が分かりやすいのではないのか？という気もします。この表記方法はシュレーフリの記号と呼ばれています。これは、便利だし重要な記号ですが、後々のことを考えて今は使いません。）

では、気を取り直して。3-3-3-3-3-3、4-4-4-4、6-6-6の3つの候補を全て作ってみましょう。

3-3-3-3-3-3

fig.3 3-3-3-3-3-3

4-4-4-4

fig.4 4-4-4-4

6-6-6

fig.5 6-6-6

全部、うまくタイリングになっていますね。

3つのタイリング

上の3つのタイリングは可能なことが分かりました。そして、可能性があるのはこの3つだけだったので、全ての可能なタイリングを網羅できたことになります。めでたし、めでたしです。

しかしまぁ、上の3つ当たり前すぎて、あんまり面白いタイリングではありませんね。 単純すぎます。仕様がないから、カラフルに塗ってみましょうか。

正多角形を一種類しか使わなかったのがいけなかったみたいです。何種類でも使ってよいことにしましょうか？そうしたら、いくらでも出てきそうな気がしませんか？どうなるかやってみるまで分かりません。というわけで次のページではこの問題を考えてみましょう。